Teorema del campionamento

Campionamento ideale e segnali a banda limitata

In generale il campionamento di una grandezza analogica è ottimale se non comporta perdita di informazioni, ovvero se è possibile ricostruire perfettamente la grandezza analogica originaria a partire dai suoi campioni.

E’ possibile dimostrare che la ricostruzione perfetta (senza perdita di informazioni) di un segnale analogico a partire dai suoi campioni è possibile solo nel caso in cui il segnale di partenza ha una banda limitata. In altre parole, è possibile campionare e ricostruire fedelmente a partire dai campioni, solo un segnale con un numero limitato di armoniche che cadono entro una determinata banda di frequenze. Per fare qualche esempio pratico: è possibile il campionamento perfetto di una sinusoide, perchè il suo spettro contiene una sola armonica e dunque la sua banda è limitata; viceversa non è possibile il campionamento perfetto di un’onda quadra, perchè essa ha infinte armoniche e una banda non limitata.

Teorema del campionamento (di Nyquist-Shannon) applicato a una sinusoide

Il teorema del campionamento (o teorema di Nyquist-Shannon) afferma che, per campionare correttamente (senza perdita di informazioni) un segnale a banda limitata, è sufficiente campionarlo con una frequenza di campionamento pari almeno al doppio della massima frequenza del segnale (tale frequenza viene anche detta frequenza di Nyquist).

Facciamo un esempio semplice. Supponiamo di voler campionare un segnale sinusoidale con f = 1 kHz e periodo T = 1/f = 1 ms. Il teorema del campionamento afferma che per campionare correttamente tale segnale occorre usare una frequenza di campionamento almeno doppia della frequenza di segnale 1 kHz. Dunque fcamp > 2 kHz e Tcamp < 0.5 ms. Come si può notare, questo valore corrisponde a campionare il segnale due volte per ogni periodo, come mostrato in figura:

Può sembrare sorprendente che occorrano così pochi campioni per rappresentare correttamente una sinusoide. In realtà il risultato del teorema di Shannon, così come è stato esposto, è puramente teorico, per diverse ragioni:

  • la condizione fcamp = 2 fsegnale vale solo se il segnale è rigorosamente a banda limitata, cioè se è possibile individuare nel suo spettro una frequenza massima; a parte le sinusoidi, nessun segnale reale di interesse pratico ha una banda limitata.
  • il campionamento dev’essere effettuato in modo sincrono con i massimi e i minimi del segnale sinusoidale; se i campioni non sono esattamente sincronizzati con le variazioni del segnale, la ricostruzione del segnale non è fedele.
  • per ricostruire il segnale sinusoidale a partire dai suoi (pochi) campioni, occorre avere a disposizione un filtro passa-basso ideale, in grado di eliminare dal segnale campionato tutte le armoniche con frequenza superiore a fsegnale e a far passare tutte le altre senza attenuazione; un filtro del genere non è realizzabile nella pratica.

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